Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Análisis Numérico)

La Unidad VI, titulada Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs), es un componente crucial dentro de la asignatura de Análisis Numérico ya que aborda la solución de problemas dinámicos de ingeniería y ciencias que no pueden resolverse de forma exacta (analítica) o cuya solución analítica es demasiado compleja.

Objetivo Principal

El objetivo es que el alumno resuelva problemas de ingeniería modelados mediante EDOs, utilizando diferentes métodos numéricos para obtener soluciones aproximadas y discretas. El enfoque está en la implementación computacional de estos métodos.

Estructura Temática

La unidad progresa desde el método más simple (Euler) hasta la resolución de sistemas complejos, preparando al estudiante para el modelado avanzado.

Método de Euler 

• Contenido: Se introduce el método numérico fundamental para resolver EDOs de primer orden.

• Enfoque: Se basa en la aproximación lineal de la función (usando la pendiente o derivada en el punto inicial del intervalo) para proyectar el siguiente punto de la solución.

• Importancia: Es clave para comprender los conceptos de iteración y error de truncamiento y la relación con el tamaño del paso (h).

Método de Runge Kutta

• Contenido: Estudio de una familia de métodos más avanzados, centrado típicamente en el Runge-Kutta de Cuarto Orden (RK4).

• Enfoque: A diferencia de Euler, RK4 utiliza un promedio ponderado de cuatro pendientes dentro del intervalo para calcular el siguiente punto.

• Importancia: Este método ofrece una precisión significativamente mayor (es un método de cuarto orden), lo que lo convierte en el estándar industrial para simulaciones de alta fidelidad, ya que permite un buen balance entre velocidad y exactitud.

Solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden (3.0h Teoría, 3.0h E. C.)

• Contenido: Aplicación de los métodos de Euler y Runge-Kutta para resolver múltiples EDOs acopladas que forman un sistema.

• Enfoque: Muchos fenómenos físicos (ej., sistemas dinámicos acoplados) se modelan con sistemas de EDOs. El alumno aprende a aplicar las técnicas iterativas a un vector de variables.

• Importancia: Es la aplicación final y más realista de la unidad, permitiendo modelar sistemas complejos donde el cambio de una variable afecta directamente a otra.

Estrategia Didáctica y Evaluación

La estrategia didáctica es altamente práctica y orientada a la ingeniería, como lo demuestran los siguientes puntos:

• Implementación: Se promueve el uso de la computadora para codificar los programas que resuelven los problemas (lo que implica el dominio de un lenguaje de programación).

• Análisis: Se enfatiza la contraste de resultados para evaluar las ventajas y desventajas de cada método (ej., Euler vs. RK4) en términos de error y estabilidad.

• Evaluación: Se evalúa a través de un examen departamental que cubre esta unidad, además de los programas resueltos en clase, tareas y laboratorio.